Over kunnen en beter weten

Het is winter. Tijd voor warhoofderij, daar het hoofd sterk afkoelt.

We weten dat we de afgeleide van een continue functie in principe kunnen berekenen met behulp van de definitie $$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ Het komt niet vaak voor dat deze definitie daadwerkelijk wordt gebruikt. Er zijn genoeg standaardafgeleiden die gebruikt kunnen worden om sneller tot een resultaat te komen. Kijk naar de functie $$f(x)=\frac{(2x^2-2x-12)}{x-3}$$ Deze kunnen we uiteraard vereenvoudigen tot $$f(x)=\frac{2(x-3)(x+2)}{x-3}$$ en daarmee tot $$f(x)=2x+4$$ mits we ons herinneren dat $x\neq 3$; de functie is officieel dus niet continu, maar daar hij slechts op één (aftelbaar) punt een gat vertoont in de grafiek (namelijk bij $(3,10)$) beschouwen we hem toch als continu, immers $$\lim_{x\uparrow 3}f(x)=\lim_{x\downarrow 3}f(x)=10$$ We kunnen dus stellen dat in de directe omgeving van dit punt zowel $a,b$ als $f(a),f(b)$ dicht bij elkaar liggen en er verder geen onderbrekingen of knikken in de functie zitten.

Op basis van de 'gereduceerde' functie $f(x)=2x+4$ vinden we onmiddellijk de afgeleide functie, namelijk $f'(x)=2$. Hier gebruiken we de standaard afgeleide $f(x)=x^n \Rightarrow f'(x)=nx^{n-1}$ en de wetenschap dat de afgeleide van de constante functie $0$ is.

Desalniettemin blijft de definitie onverkort van kracht. Laten we eerst eens naar de vereenvoudigde functie kijken: $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(x+h)+4-(2x+4)}{h}$$ $$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2x+2h+4-2x-4}{h}$$ $$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h}=2$$ Maar het kan nog erger. Wat gebeurt er als we de originele functie in de definitie invoeren? De kans op simpele rekenfouten nadert dan de 100%. Laat dat ons er niet van weerhouden. We werken geheel volgens het boekje, zonder vereenvoudigingen. $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{2(x+h)^2-2(x+h)-12}{(x+h)-3}-\frac{2x^2-2x-12}{x-3}}{h}$$ We werken stap voor stap uit: $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{2(x^2+2hx+h^2)-2x-2h-12}{x+h-3}-\frac{2x^2-2x-12}{x-3}}{h}$$ $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{2x^2+4hx+2h^2-2x-2h-12}{x+h-3}-\frac{2x^2-2x-12}{x-3}}{h}$$ Nu brengen we de beide breuken in de teller onder dezelfde noemer, en vermenigvuldigen dit geheel met $\frac{1}{h}$, daar vermenigvuldigen met $\frac{1}{h}$ gelijk is aan delen door $h$: $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(2x^2+4hx+2h^2-2x-2h-12)(x-3)-(2x^2-2x-12)(x+h-3)}{h(x+h-3)(x-3)}$$ We werken alles consistent en met doodsverachting uit. Omdat de uitwerking van de teller zo lang is (en de functie splitfrac niet in Mathjax wordt ondersteund) past deze niet meer op de pagina, daarom schrijven we alleen de teller van de breuk uit:
$teller=2x^3-6x^2+4hx^2-12hx+2h^2x-6h^2-2x^2+6x-2hx+6h-12x+36$ $-2x^3-2x^2h+6x^2+2x^2+2hx-6x+12x+12h-36$

ofwel $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{teller}{h(x^2-3x+hx-3h-3x+9)}$$ Nu kunnen we gelukkig rigoureus wegstrepen en dit blijft over: $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2hx^2+2h^2x-6h^2-12hx+18h}{h(x^2-3x+hx-3h-3x+9)}$$ De hoop keert terug. Laten we allereerst de $h$ buiten de haakjes in de noemer elimineren: $$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2x^2+2hx-6h-12x+18}{x^2-3x+hx-3h-3x+9}$$ We kunnen nu de limiet berekenen. Deze is $$\frac{2x^2-12x+18}{x^2-6x+9}=\frac{2(x-3)^2}{(x-3)^2}=2$$ Driemaal is scheepsrecht. En uiteraard blijft gelden dat $x\neq 3$.

Deze methode is overduidelijk niet aan te bevelen, maar wie een uurtje over heeft en zijn tijd nuttig wil besteden kan zich volledig uitleven. Al is het alleen maar om in razende ergernis proberen de reken- en schrijffouten te vinden.